|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Wiskunde A, B en C
Is het mogelijk deze drie integralen analytisch op te lossen?
Integraal x=0 - x=L
c1 ( f(x) )-1 dx – c2 ( f(x) )c3 dx
Waarbij:
1) f(x)=a1
2) f(x)= a2 + a3 x
3) f(x)= a4 + a5 x + a6 x2
Oftewel:
c1 ( a1 )-1 dx – c2 ( a1 )c3 dx
c1 (a2 + a3 x)-1 dx – c2 (a2 + a3 x)c3 dx
c1 (a4 + a5 x + a6 x2)-1 dx – c2 (a4 + a5 x + a6 x2)c3 dx
Dus:
Integraal x=0 - x=L c1 ( a1 )-1 dx – c2 ( a1 )c3 dx
Integraal x=0 - x=L c1 (a2 + a3 x)-1 dx – c2 (a2 + a3 x)c3 dx
Integraal x=0 - x=L c1 (a4 + a5 x + a6 x2)-1 dx – c2 (a4 + a5 x + a6 x2)c3 dx
Antwoord
Ik neem aan dat alle $a$tjes en $c$tjes constanten zijn, in dat geval is de eerste integraal atijd te doen: constante functies zijn integreerbaar.
De tweede ook: $\int_0^L\frac{c}{a+bx}\,\mathrm{d}x$ levert een logaritme en $\int_0^L c_1(a+bx)^{c_2}\,\mathrm{d}x$ levert een logaritme als $c_2=-1$ en $\frac{c_1}{bc_2}(a+bx)^{c_2+1}$ als $c_2\neq-1$. Dat volgt allemaal uit bekende formules voor afgeleiden/primitieven.
De derde is wat bewerkelijker, bij
$$
\int_0^L \frac{c_1}{a+bx+cx^2}\,\mathrm{d}x
$$
heb je twee gevallen: als de noemer ontbindbaar is door middel van breuksplitsing en anders via een arctangens.
Bij
$$
\int_0^L c_1(a+bx+cx^2)^d\,\mathrm{d}x
$$
hangt het van $d$ af: als $d$ geheel is lukt het omdat de functie rationaal is.
Bij sommige rationale waarden van $d$ gaat het ook nog wel maar de formules worden ingewikkeld (programma's als Maple of een site als wolfram alpha bieden dan nog wel soelaas). Maar als $d$ irrationaal is, zeg $d=\sqrt2$ of $d=\pi$ dan is er waarschijnlijk zeer weinig mee te doen.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
